Обратная матрица примеры с решением 3х3. Найти обратную матрицу онлайн

В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.

Навигация по странице.

Обратная матрица - определение.

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Определение.

Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n .

Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

Как же находить обратную матрицу для данной?

Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Определение.

Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n ).

Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .

Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.

Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов . Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца . Проиллюстрируем построение этих миноров: и .

Определение.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается как . Таким обрзом, .

Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть .

Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы :

На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .

Матрица действительно является обратной для матрицы А , так как выполняются равенства . Покажем это

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .

Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.

Пример.

Дана матрица . Найдите обратную матрицу.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А , разложив его по элементам третьего столбца:

Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.

Найдем матрицу из алгебраических дополнений:

Поэтому

Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:

Теперь находим обратную матрицу как :

Проверяем полученный результат:

Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Свойства обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы :

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.

Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана.

Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е , то получится обратная матрица .

Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n , определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.

Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.

Если , то на место первой строки ставится k-ая строка (k>1 ), в которой , а на место k-ой строки ставится первая. (Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А – вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицу А , у которой .

Теперь умножаем каждый элемент первой строки на . Так приходим к «новой» матрице А , у которой . Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А , начиная со второго, станут нулевыми.

С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.

Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с , стали нулевыми.

Если , то на место второй строки ставится k-ая строка (k>2 ), в которой , а на место k-ой строки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицу А , у которой . Умножаем все элементы второй строки на . После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на . К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы второго столбца матрицы А , начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице.

Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.

Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-1)-ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . К элементам (n-2)-ой строки – соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.

С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому .

Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы (n-1)-ого столбца до , стали нулевыми. Для этого к элементам (n-2)-ой строки прибавляем соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . К элементам (n-3)-ой строки – соответствующие элементы (n-1)-ой строки, умноженные на . И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы (n-1)-ого столбца матрицы А (кроме ), станут нулевыми.

Пример.

Приведите матрицу к единичной с помощью преобразований Гаусса – Жордана.

Решение.

Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу .

Умножим все элементы первой строки матрицы на : .

К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0 , а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-4) :

Переходим ко второму столбцу.

Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на . К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :

Переходим к третьему столбцу.

Умножим элементы третьей строки на : .

Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу.

К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на (-2) , а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на :

В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему (ко второму) столбцу.

К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на :
.

Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица.

Пришло время применить метод Гаусса – Жордана к нахождению обратной матрицы.

Пример.

Найдите обратную матрицу для методом Гаусса – Жордана.

Решение.

В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса – Жордана с матрицей А , а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей.

Так как , а , то переставим первую и вторую строки местами:

Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент стал равен единице:

К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0 , к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2 , к элементам четвертой строки – элементы первой строки, умноженные на 5 :

Так в первом столбце матрицы А мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на , не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части:

Дальше нам нужно сделать элементы и нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0 , а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :

Так второй столбец матрицы А преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки:

Умножаем элементы третьей строки на :

Третий столбец матрицы А принял нужный вид (элемент нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на ). Осталось умножить четвертую строку на чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице:

Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А . Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на , к элементам второй строки – элементы последней строки, умноженные на , к элементам первой строки – элементы последней строки, умноженные на 0 :

Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и 0 соответственно:

Осталось последнее преобразование. К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на :

Итак, матрица А преобразованиями Гаусса – Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу.

Ответ:

Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n .

Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:

Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу .

Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей - . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид . Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.

Подведем итог.

Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.

Рассмотрим квадратную матрицу . Обозначим Δ = det A ее определитель. Квадратная В есть (ОМ) для квадратной А того же порядка, если их произведение А*В = В* А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и А и В.

Квадратная А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Теорема. Для того, чтобы А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

(ОМ) А, обозначается через А -1 , так что В = А -1 и вычисляется по формуле

, (1)

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j , Δ = detA.

Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то в результате получится A -1 . Удобно совершать ЭП над А и Е одновременно, записывая обе рядом через черту A|E. Если нужно найти A -1 , в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Пример 1 . Для найти A -1 .

Решение. Находим сначала детерминант А
значит, (ОМ) существует и мы ее можем найти по формуле: , где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной А.

Алгебраическое дополнение элемента a ij это определитель или минор M ij . Он получается вычеркиванием столбца i и строки j. Затем минор умножается на (-1) i+j , т.е. A ij =(-1) i+j M ij

откуда .

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для: А= .

Решение. Приписываем к исходной A справа единичную того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная таблица является обратной А -1 . Итак,
.

Исходной по формуле: A^-1 = A*/detA, где A* - присоединенная матрица, detA - исходной матрицы. Присоединенная матрица - это транспонированная матрица дополнений к элементам исходной матрицы.

Первым делом найдите определитель матрицы, он должен быть отличен от нуля, так как дальше определитель будет использоваться в качестве делителя. Пусть для примера дана матрица третьего (состоящая из трех строк и трех столбцов). Как видно, определитель матрицы не равен нулю, поэтому существует обратная матрица.

Найдите дополнения к каждому элементу матрицы A. Дополнением к A называется определитель подматрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, причем этот определитель берется со знаком. Знак определяется умножением определителя на (-1) в степени i+j. Таким образом, например, дополнением к A будет определитель, рассмотренный на рисунке. Знак получился так: (-1)^(2+1) = -1.

В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование - это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.

Назначение сервиса. С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения, транспонированную матрицу AT, союзную матрицу и обратную матрицу.

Онлайн калькулятор. Обратная матрицы.

Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления.

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Алгебраические дополнения.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Нахождение обратной матрицы

Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице, если А*А-1 = , где - единичная матрица -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

см. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Нахождение транспонированной матрицы AT.
Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица.

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Определение алгебраических дополнений.
Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1. Запишем матрицу в виде:

Обратная матрица существует, если определитель матрицы отличен от нуля. Найдем определитель матрицы:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Определитель равен 10 и не равен нулю. Продолжаем решение.
Найдем транспонированную матрицу:
Алгебраические дополнения.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

Находим определитель данной квадратной матрицы.
Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы.
Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы.

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай: Обратной, по отношению к единичной матрице, является единичная матрица.

Пример №2. Найти матрицу, обратную матрице .
Решение.
1. Найдем
.
2. Ищем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы A:
; ; .
Получили алгебраические дополнения элементов первой строки.

Найти обратную матрицу онлайн

Аналогично для элементов второй и третьей строк получаем:
; ; .
; ; .
Объединяя 3 и 4 пункты, получаем обратную матрицу

.
Для проверки убедимся, что A-1A = E.

Инструкция. Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу.

Нахождение обратной матрицы

Назначение сервиса. С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения, транспонированную матрицу AT, союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления.

Нахождение обратной матрицы онлайн

см. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Нахождение транспонированной матрицы AT.
Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Определение алгебраических дополнений.
Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1. Запишем матрицу в виде:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

Находим определитель данной квадратной матрицы.
Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы.
Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы.

Для проверки убедимся, что A-1A = E.

Нахождение обратной матрицы является важной составляющей в разделе линейной алгебры. С помощью таких матриц, если они существуют, можно быстро найти решение системы линейных уравнений.

Матрицаназывается обратной к матрице,если выполняются следующие равенства.

Если определитель матрицыотличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной.

Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть имеем квадратную матрицу

и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Найти определитель матрицы. Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы . Они равны минорам, умноженным на в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается .

4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант . Полученная матрица будет обратной и иметь свойства, которые изложены в начале статьи.

Найти матрицу, обратную к матрице (Дубовик В.П., Юрик И.И.

Нахождение обратной матрицы

"Высшая математика. Сборник задач")

1)Находим определитель матрицы

Так как детерминант не равен нулю (), то обратная матрица существует. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений

Матрица дополнений примет вид

Транспонируем ее и получаем присоединенную

Разделим ее на определитель и получим обратную

Видим, что в случае, когда определитель равен единице присоединена и обратная матрицы совпадают.

2) Вычисляем определитель матрицы

Находим матрицу алгебраических дополнений

Конечный вид матрицы дополнений

Транспонируем ее и находим союзную матрицу

Находим обратную матрицу

3) Вычислим детерминант матрицы. Для этого разложим его на первую строчку. В результате получим два отличны от нуля слагаемые

Находим матрицу алгебраических дополнений. Расписание определителя проводим по строкам и столбцам, в которых больше нулевых элементов (обозначены черным цветом).

Конечный вид матрицы дополнений следующий

Транспонируем ее и находим присоединенную матрицу

Поскольку определитель матрицы равен единице то обратная матрица совпадает с присоединенной. Данный пример назад.

При вычислениях обратной матрицы типичными являются ошибки связанные с неправильными знаками при вычислении определителя и матрицы дополнений.

Высшая математика » Матрицы и определители » Обратная матрица » Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.

Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:

Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.

Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.

Пример №1

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Обратная матрица

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Пример №2

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:

$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$

Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:

Ответ: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.

Пример №3

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) $$

Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:

$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$

Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ: $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.

Пример №4

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

$$ \Delta A=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=\left(\begin{array}{cccc} 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end{array}\right)$.

Присоединённая матрица: ${A^*}^T=\left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end{array}\right)$

Обратная матрица:

$$ A^{-1}=\frac{1}{100}\cdot \left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right) $$

Проверка:

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)$.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.

Онлайн-занятия по высшей математике

Нахождение обратной матрицы

см. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Нахождение транспонированной матрицы AT.
Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе — обратной матрицы не существует.
Определение алгебраических дополнений.
Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1. Запишем матрицу в виде:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

Находим определитель данной квадратной матрицы.
Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы.
Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы.

Для проверки убедимся, что A-1A = E.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:

Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.

Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .

Пример №1

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Ответ : матрицы $A^{-1}$ не существует.

Пример №2

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$. Выполнить проверку.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения

\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.

$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$

$$ A^{-1}\cdot{A} =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right) =-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array} {cc} -103 & 0 \\ 0 & -103 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) =E $$

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.

Пример №3

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$. Выполнить проверку.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

$$ \begin{aligned} & A_{11}=(-1)^{2}\cdot\left|\begin{array}{cc} 9 & 4\\ 3 & 2\end{array}\right|=6;\; A_{12}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 &4 \\ 0 & 2\end{array}\right|=8;\; A_{13}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 & 9\\ 0 & 3\end{array}\right|=-12;\\ & A_{21}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 3 & 2\end{array}\right|=-5;\; A_{22}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 2\end{array}\right|=2;\; A_{23}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ 0 & 3\end{array}\right|=-3;\\ & A_{31}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 9 & 4\end{array}\right|=1;\; A_{32}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ -4 & 4\end{array}\right|=-16;\; A_{33}=(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ -4 & 9\end{array}\right|=37. \end{aligned} $$

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$

Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:

$$ A\cdot{A^{-1}} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)\cdot \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) =\frac{1}{26}\cdot\left(\begin{array} {ccc} 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) =E $$

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.

Пример №4

Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

$$ A_{11}=\left|\begin{array}{ccc} 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end{array}\right|=556;\; A_{12}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end{array}\right|=-300; $$ $$ A_{13}=\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end{array}\right|=-536;\; A_{14}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end{array}\right|=-112. $$

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

$$ \Delta{A}=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin{aligned} & A_{21}=-77;\;A_{22}=50;\;A_{23}=87;\;A_{24}=4;\\ & A_{31}=-93;\;A_{32}=50;\;A_{33}=83;\;A_{34}=36;\\ & A_{41}=473;\;A_{42}=-250;\;A_{43}=-463;\;A_{44}=-96. \end{aligned} $$

Присоединённая матрица: ${A^*}^T=\left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end{array}\right)$.

Обратная матрица:

Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.

Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)$.